A veces, basta una frase para poner en jaque a la lógica: “Esta frase es falsa”. Si es verdadera, es falsa; si es falsa, es verdadera. Ese nudo conceptual –la combinación de autorreferencia y negación– ha acompañado al pensamiento occidental durante siglos y reaparece, una y otra vez, en algunos de los descubrimientos más profundos de la ciencia y la filosofía.

Por ejemplo, si digo “Soy una mentirosa”, podemos concluir que estoy mintiendo si y solo si no estoy mintiendo. No podemos asignar un valor de verdad coherente a mi oración –mi oración trasciende el conjunto de frases verdaderas o falsas–. Si intentamos solucionarlo añadiendo un tercer valor de verdad, como “semicierta” o “indefinida”, podré construir una nueva paradoja que escapará de la nueva clasificación. Y así sucesivamente ad infinitum.

¿Qué me permite construir esta oración? Un lenguaje donde pueda formular la referencia a mí misma, así como la negación. “Soy honesta” o “Esta frase es verdadera” contienen autorreferencia sin negación, y no resultan problemáticas. “Esto no es una manzana” contiene negación sin autorreferencia, por eso, no plantea retos lógicos. La autorreferencia unida a la negación conforman un ataque desconcertante y poderoso, que nos deja sin lugar donde refugiarnos de inconsistencias. Como un uróboro que muerde su propia cola venenosa y pone en cuestión su propia existencia.

El alcance de la paradoja de autorreferencia y negación es espectacular. Primero, por la cantidad de escenarios donde se puede formular: se puede reencarnar, esencialmente, en toda actividad intelectual que se refleje en la lógica, si la última es lo bastante expresiva. Segundo, por su persistencia: no hay forma sencilla o plenamente satisfactoria de resolver la paradoja. Su honda huella se encuentra en el corazón de algunos de los resultados más profundos en matemáticas, informática, semántica, teoría de la elección social e, incluso, la filosofía.

Por ejemplo, en teoría de conjuntos, Bertrand Russell nos urge a considerar la colección de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Resulta que esta colección se contiene a sí misma si y solo si no lo hace. Inadmisible. Resulta que no para toda propiedad existe el conjunto de elementos con aquella propiedad. Esta es la paradoja de Russell.

Las muchas versiones de la paradoja de la mentirosa

En la teoría de la computación, no puede existir una máquina de Turing que resuelva el problema de la parada. Es decir, no existe un programa maestro que pueda analizar el código de otro programa y predecir correctamente si se detendrá o entrará en un bucle infinito. Si existiera, le daríamos su propia descripción, modificaríamos el output y resultaría que el algoritmo pararía si y solo si no parara.

Por su parte, el primer teorema de incompletitud de Gödel considera un sistema formal........

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