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La fascinación por los números primos se remonta a tiempos inmemoriales. En el llamado hueso de Ishango, una pieza tallada hace más de 20.000 años, aparecen grupos de incisiones que corresponden a los números 11, 13, 17 y 19, precisamente los cuatro números primos comprendidos entre 10 y 20. Algunos arqueólogos han querido ver allí una intuición muy temprana de los números primos. La interpretación es discutida, como ocurre con tantas huellas de la prehistoria. Pero, de ser correcta, esta pieza arqueológica contendría algo extraordinario: la curiosidad por los números primos tendría raíces más antiguas que la propia civilización.

Un número primo es un entero positivo que solo puede dividirse exactamente por la unidad y por sí mismo. Por convención matemática, el 1 no se considera primo; la lista comienza con el 2 y luego siguen el 3, el 5 y el 7. El 9 queda descartado: es divisible por 3. Después vienen 11, 13, 17, 19, 23…

¿Seguirán apareciendo primos indefinidamente o, por el contrario, más allá de algún número inconcebiblemente grande, terminarán por desaparecer? Hace más de 2.300 años, esa pregunta ya preocupaba a Euclides. La respuesta aparece en sus Elementos, el tratado que transformó para siempre la ciencia occidental. Es la proposición 20 del Libro IX y contiene la primera demostración conocida de que los números primos son infinitos.

El razonamiento que aparece en esa obra monumental resulta de una sencillez desconcertante. En lenguaje moderno, tomemos cualquier colección de números primos p₁, p₂, …, pn —tantos como queramos— y construyamos el número

Es decir, los multiplicamos todos y luego sumamos 1. Entonces sucede algo inevitable: ninguno de los primos de nuestra colección puede dividir exactamente a N, porque al dividir N por cualquiera de ellos siempre queda un residuo de 1. Pero N debe ser primo o tener algún divisor primo. En cualquiera de los dos casos, aparece un número primo que no estaba en esa lista. Esa es la maravilla: por muchos primos que hayamos reunido, siempre podremos encontrar otro más. La sucesión nunca termina.

Recuerdo que, siendo niño, mi padre me enseñó este argumento con una mezcla de asombro y reverencia, como quien revela una delicada joya del pensamiento. Muchos años después leí en Arrow in the Blue, la autobiografía de Arthur Koestler, que el escritor húngaro había experimentado una fascinación semejante, aunque en circunstancias mucho más sombrías.

Durante la Guerra Civil Española, Koestler cayó prisionero de los franquistas y pasó meses en una celda esperando que en cualquier momento vinieran a buscarlo para llevarlo al paredón de fusilamiento. Allí recordó esa misma prueba de Euclides, que había aprendido en la escuela. Para llenar las interminables horas de angustia, arrancó un trozo del resorte metálico de su colchón y empezó a garabatear fórmulas en la pared de la celda. Después de rehacer algunas ecuaciones de geometría analítica, logró reconstruir de memoria la demostración milenaria.

Hay algo profundamente conmovedor en esa escena: un hombre que espera la muerte y encuentra refugio en un fragmento de la ciencia helénica.........

© El Espectador