Matematik ve Soyutlama

Tanım ve Fayda

Matematik, gerçek veya kavramsal varlıkları; sayılar, geometri ve mantık kullanarak soyutlayan ve böylece bu varlıklar hakkındaki genel hükümlere tanım ve ispat yaparak ulaşan bir bilimdir. Elde edilen genel ifadeler (hükümler, formüller) varlıkların yani “şey”in (şimdilik olması kaydıyla) künhünü veya hakikatini ortaya çıkarır. Hakikatin bu yolla nasip olması ise insanlığın faydasınadır. Eşyanın hikmeti ortaya çıkınca eşya ve bağlantılı nesnelerin kullanılabilirliği artar, ağır/zor işler kolaylaşır, evrensellik kazanır ve insanlık bu alemde ilerleme kat eder.

Soyutlama nasıl yapılır?

Soyutlamadan ve genel formüller (hükümler) çıkarmadan matematiksel düşünme becerisi başlamaz. Bu nedenle önce soyutlama yapmayı öğrenmemiz gerekiyor.

Dünyasal varlıkların bir kısmı ağaçlar, şehirler, arabalar gibi gözle görülebilir elle tutulabilir somut nesnelerdir. Bu nesneler sayma sayılar (doğal sayılar kümesi) kullanılarak “soyutlanır.” Gözlemlediğimiz bu nesneleri, rakamlardan oluşan sayı sembollerine karşılık getirme işi soyutlamanın en basitidir. Bunu bir adım daha açarsak: Dünyada var olan gerçek varlıklar, “zihnimizde var ettiğimiz ve bir sistem üzere olduğu ispatlanan hayali sayılar”la ifade edildiğinde soyutlama gerçekleşmiş olur. Örneğin şehirlerin sayısı sayma yapılarak tespit edilince soyutlama gerçekleşmiş ve bitmiştir. Artık şehirlerin sayısı dendiği zaman her seferinde baştan saymak yerine 81 sayısı ile etiketlenen soyutlama etiket (yani sayısal değeri) kullanılır. Şehirlerin sayısı sorulduğunda daha önce bir bilgi olarak hafızamızda yerleştirdiğimiz ilgili soyutlamayı (81sayısını) belleğimize çağırarak (hatırlayarak) kullanabiliriz. Soyutlama ile varlıkların sayısı, türü, cinsi, uzunlukları, ağırlıkları, hacimleri gibi özelliklerini soyutlarız. Basit gibi duran bu soyutlama aslında o nesne/nesnelerin tümü hakkında bilimsel çıkarımlar yapmamıza, yeni şeyler keşfetmemize ve insanlığın hizmetine sunulacak üretkenliklerde bulunmamıza yardımcı olur.

Dünya varlıklarının diğer kısmı ise insan zihninin bir tasavvuru olarak varlık âleminde yer alan “kavramlar”dır. “Kavramlar bir eşya, fikir, olay veya durumun soyut ve genel bir temsili olarak ifade edilebilir. Kavramlar, benzer özelliklere sahip bir dizi somut örneği kategorize etmek ve organize etmek için kullanılır (Claude 3 Opus, 11/04/2024).” Örneğin “ağaç” ismi dünyadaki her çeşit ağacın ortak adı olup bir kavramdır. Meyveli ve meyvesiz ağaç şeklinde iki alt kategori gibi yüzlerce kategoride değerlendirilebildiği gibi canlılar üst kategorisinde insanlar, hayvanlar, bitkiler içinde yer alabilir.

Kavram başlığı altında ele alınan “fikir” başlığını soyutlayabilir miyiz? Dikkat edilirse bu kez durum farklıdır. Burada öncekinin aksine soyut bir kavramın soyutlanması işlemi ile karşı karşıyayız. Biraz önce nesneleri soyutlarken pek zorlanmadık. Burada “Soyut kavramların matematiksel olarak soyutlanması mümkün müdür?” sorunsalı ile karşı karşıyayız. Bunun matematikte mümkün olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Bu tür soyutlamada yine tümevarım, tümdengelim, geometri veya mantık araçları kullanılır. Örneğin n-boyutlu........

© İnsaniyet