Évariste Galois da una condición necesaria y suficiente para la resolución de una ecuación polinómica con el álgebra, respondiendo así a una interrogante planteada desde hacía milenios.

En matemáticas, la teoría de ecuaciones es un conjunto de trabajos cuyo objetivo principal es la resolución de ecuaciones algebraicas o equivalentes.

Tal ecuación se escribe del modo siguiente

donde X designa la incógnita,.

Un número que verifica la ecuación se llama raíz o solución.

La «teoría de ecuaciones» es una expresión frecuentemente utilizada en historia de ciencias.

Su estudio remonta a los primeros textos matemáticos conocidos; este primer acercamiento consistía en resolver ecuaciones en las que el grado del polinomio es estrictamente menor que cinco.

Durante el Renacimiento y con el estudio de las ecuaciones cúbicas, nuevos tipos de números son introducidos, inicialmente calificados de imaginarios, y después números complejos.

Más tarde, estos números intervendrán en la resolución de ecuaciones de segundo grado.

A partir de la Edad Moderna, el polinomio es considerado también una función. Este tratamiento ofrece métodos para determinar el número de raíces reales, para localizarlas, y también permite construir métodos de aproximación tan precisos como se desee.

Uno de sus logros es el llamado teorema fundamental del álgebra, según el cual una función polinómica no-constante admite al menos un cero en los números complejos.

Una perspectiva adoptada en el siglo XX, consiste en estudiar el menor conjunto de números estable por las cuatro operaciones y que contiene a la vez coeficientes y raíces de una ecuación dada.

Este es el enfoque de la teoría llamada de Galois.

Ofrece una condición necesaria y suficiente para saber si una ecuación polinómica se resuelve por las técnicas descritas anteriormente, en caso contrario, deben aplicarse aproximaciones desarrolladas en análisis matemático. Hasta el siglo XIX, la teoría de ecuaciones se confunde con el álgebra, más tarde, y gracias a la teoría de Galois principalmente, el álgebra se extiende para tomar en cuenta nuevas interrogantes.

Esta teoría es el origen de vastos dominios de las matemáticas, como la teoría de grupos, la teoría de anillos, la teoría de cuerpos o incluso la geometría algebraica.

Observación: Cuando no se precisa, el término teoría de ecuaciones designa generalmente] las ecuaciones polinómicas.

Por otra parte, existen numerosas ecuaciones que, sin ser algebraicas, también forman parte de una teoría.

El uso requiere que se precise la naturaleza de la ecuación considerada, como en la expresión teoría de las ecuaciones diferenciales.

No existe una teoría única que se aplique a todo tipo de ecuaciones, pues forman un conjunto muy heterogéneo.

Tan atrás como se remontan a los textos conocidos de matemáticas se encuentran cuestiones que, adaptadas al lenguaje actual, se expresan en forma de ecuaciones algebraicas.

En un papiro del antiguo Egipto se lee: «Cuándo el escriba te dice que 10 son los 2/3 y 1/10 se traducirá como

En tanto, los babilonios estudiaron en particular problemas que corresponden a ecuaciones de segundo grado.

Su lenguaje era geométrico, el valor que se busca, que actualmente denominamos «», se denominaba «lado» y «» como «cuadrado», pero su formulación a menudo es puramente algebraica.

Se puede leer, sobre una tablilla de arcilla: «He sumado 7 veces el lado de mi cuadrado y 11 veces el área: 6 15 para describir, en la numeración sexagesimal utilizada por los babilonios, la ecuación .

El sentido geométrico de la suma de un área y de una longitud es ambigua, sin embargo ningún comentario no sostiene una interpretación puramente algebraica de la cuestión (los números multiplicados y sumados).

No se desarrolló ninguna herramienta algebraica, así como tampoco existió ninguna incógnita que se pueda determinar con la ayuda de un método de cálculo.

Los egipcios resolvieron la ecuación del primer grado por tanteo, con la ayuda del método de la falsa posición y los babilonios disponían de algoritmos sin otra justificación que la empírica, es decir que finalmente el valor encontrado es la solución........

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