Se apoya en los siguientes hechos esenciales:

1.- los espacios usados por los físicos son no conmutativos en muchos casos: • en Mecánica Cuántica, donde el descubrimiento de W. Heisenberg de la "Mecánica de las Matrices" reemplaza el ´algebra de funciones sobre el espacio de fases de la Mecánica Clásica, por un ´algebra no conmutativa;

2 Geometría no conmutativa • en Física del Estado Sólido (con el trabajo de J. Bellissard), el espacio de las energías-impulsión de un tal sistema se vuelve no conmutativo, en el sentido de que el ´algebra de las funciones sobre este espacio se reemplaza por un ´algebra no conmutativa; • con respecto a la Geometría del "espacio-tiempo"., Tal y como la revela la Física de las Partículas Elementales, bajo la forma del modelo de Weinberg-Salam.

Esta geometría es m´as sutil que la que se presupone siempre (una variedad de dimensión 4) y la geometría no conmutativa permite, matizando la noción de forma diferencial y "desdoblando" el espacio-tiempo, dar un origen conceptual como bosones de capacidad pura a los bosones de Higgs del modelo standard;

2.- existen muchos ejemplos de espacios que surgen de manera natural (el espacio de universos de Penrose, el espacio de representaciones irreductibles de un grupo discreto, los espacios no simplemente conexos de grupo fundamental no abeliano, el espacio de hojas de una foliación, los grupos cuánticos, ...), para los cuales las herramientas clásicas del Análisis no son adecuadas, pero que corresponden de una manera muy natural a un ´algebra no conmutativa;

3.- es posible reformular las herramientas clásicas del Análisis (como la teoría de la medida, la topología, el cálculo diferencial, el cálculo diferencial métrico, ...), en términos algebraicos e hilbertianos, de modo que su marco natural se transforme en no conmutativo, el caso conmutativo no estando ni aislado ni cerrado en la teoría general.

El "esquema" de funcionamiento de la Geometría no conmutativa se puede resumir del siguiente modo: (i) dado un objeto geométrico "singular" G, se empieza eligiendo una "de singularización" adecuada G de G, (ii) es de esperar que G tenga suficiente estructura como, a partir de ´el, encontrar una C*-´algebra C∗(G), cuya complejidad refleje la naturaleza de G, (iii) utilizando métodos de Geometría no conmutativa, se trata de investigar el anillo no conmutativo C∗(G). Marta Macho Stadler

3 En este trabajo no se pretende dar un repaso exhaustivo de técnicas o ejemplos de Geometría no conmutativa.

Está realizado desde el punto de vista de una persona que trabaja en Teoría de Foliaciones, y de aquí las referencias y el enfoque empleados.

En Mecánica Clásica es necesario, para determinar la trayectoria ulterior de una partícula, conocer a la vez su posición y su velocidad iniciales.

Los datos iniciales forman pues un conjunto de 6 parámetros, que son las 3 coordenadas de la posición y las 3 del momento.

Si se trabaja con n partículas, aparece un conjunto de 6n parámetros, que es el espacio de fases M del sistema mecánico considerado.

A partir de una función sobre este espacio, el hamiltoniano (que mide la energía), se establece un sistema de ecuaciones diferenciales, que determinan la trayectoria a partir de las condiciones iniciales.

La estructura natural de M es la de una variedad simpléctica, cuyos puntos son los estados del sistema.

Las funciones sobre M son las cantidades observables del sistema.

El hamiltoniano H es una función sobre M, que interviene para especificar la evolución de toda cantidad física observable, por la ecuación d dtf = {H, f}, donde {} es el corchete de Poisson.

En los buenos casos (por ejemplo, el modelo planetario del ´átomo de hidrógeno), el sistema dinámico obtenido es totalmente integrable, es decir, hay suficientes "constantes de........

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