El estudio de los conjuntos infinitos se inicia con Las Paradojas del Infinito, la última obra del matemático checo Bernard Bolzano, publicada en 1851, tres años después de su muerte. Posteriormente el matemático ruso Georg Cantor clarificó la noción de conjunto infinito y mostró que podían existir conjuntos infinitos de distinto tamaño.

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Se dice que A tiene la misma cardinalidad que B, si existe una función bi yectiva de A en B.

En este caso escribimos A ∼ B. Teorema 1. Sean A B y C conjuntos no vacíos. Entonces a) A ∼ A; b) si A ∼ B, entonces B ∼ A; c) si A ∼ B y B ∼ C, entonces A ∼ C. Demostración. a) Se sigue del hecho de que la función identidad 1A es bi yectiva. b) Si A ∼ B, entonces existe una función bi yectiva f : A → B, por lo tanto, la función inversa f −1 : B → A es una función biyectiva de B en A, y por lo tanto B ∼ A. c) Si A ∼ B y B ∼ C, entonces existe una función biyectiva f : A → B y existe una función bi yectiva g : B → C. Por lo tanto la composición h = g ◦ f es una función bi yectiva de A en C, y de ahí que A ∼ C. Observa que un conjunto A es finito, si es vacío o si existe un número natural n, tal que {1, 2,...,n}∼ A. Si un conjunto no es finito, se dice que es infinito.

Ejemplo 1. El conjunto de los números naturales ¥ es un conjunto infinito.

Para probar esta afirmación supongamos que existe un número natural n, y una función bi yectiva f : {1, 2,...,n} :→ ¥ .

Sea a = máx{f(1),f(2),...,f(n)} +1.

Por lo tanto a∈¥ , sin embargo, f(k) ≠ a, para toda k ∈{1; 2,…, n}, lo cual contradice la suposición de que f es bi yectiva.

Un conjunto infinito puede tener la misma cardinalidad que un subconjunto propio de él mismo, como lo muestra el siguiente ejemplo.

El conjunto A = {2, 4, 6,...,} tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales ¥ , pues la función f : ¥ → A, definida por f(n)=2n, es claramente bi yectiva.

El siguiente ejemplo muestra que el conjunto de los números enteros tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales.

Sea f : ¥ → Z definida por: / 2 si ; ( ) (1 ) / 2 si . n n es par f n n n es impar   =  −  Observa que f(n) > 0 si n es par y f(n) ≤ 0 si n es impar, por lo que f(n)= f(m) implica que n y m son ambos pares o ambos impares.

Si f(n)= f(m) y n, m son ambos pares, entonces 2 2 n m= y de ahí que n = m. Por otra parte, si f(n) = f(m) y n, m son ambos impares, entonces 1 1 2 2 − − n m = por lo que también n = m, con lo cual concluimos que f es in yectiva.

Para ver que f es supra yectiva, sea m∈¢ arbitrario. Si m> 0, entonces 2m∈¥ y f(2m)= m. Por otra parte, si m ≤ 0, entonces 1 2 − ∈m ¥ y f(1 − 2m)= m. Por lo tanto f es suprayectiva. Como f es inyectiva y suprayectiva concluimos que f es biyectiva. Matemáticas discretas Conjuntos Infinitos Editorial: Alfaomega Grupo Editorial 4 Un conjunto A se dice que es numerable, si A ∼ ¥ .

El conjunto de los números naturales es numerable.

Otros conjuntos numerables son el conjunto de enteros positivos pares y el conjunto de los números enteros.

Un conjunto se dice que es a lo más numerable, si es finito o numerable.

El siguiente resultado establece que todo subconjunto de los números naturales es a lo más numerable. Teorema 2. Si A ⊆ ¥ , entonces A es a lo más numerable

Si A es finito, entonces no hay nada que probar. Supongamos ahora que A es infinito.

Por el principio del buen orden, A tiene un elemento mínimo.

Denotemos f(1) a ese elemento.

Por hipótesis el conjunto A −{f(1)} es no vacío, de modo que también tiene un elemento mínimo, el cual denotaremos f(2). En general, sea f n mín A f f f n ( ) ( (1), (2),..., ( 1) , =− − { } para cada n n ∈ ≥ ¥ , 2 . Se puede demostrar por inducción que n fn fn ≤

Por lo tanto existe una función bi yectiva f : ¥ → I. Para cada número natural n escribamos el número f(n) en forma decimal, es decir, 1234 ( ) 0. ..., nn nn fn aaaa = donde cada nk a es un dígito. Para cada número natural n sea n x un dígito distinto de nn a .

Por lo tanto el número 1234 x xxxx = 0. ... pertenece a I, pero x ≠ f(n), para todo número natural n, pues x difiere de f(n) en el n-ésimo dígito, lo cual es una contradicción, pues f es bi yectiva.

Por lo tanto ¡ es no numerable. Si A es un conjunto numerable, se dice que la cardinalidad de A es aleph cero, y escribimos |A| =ℵ0 . Si A ∼R, se dice que A tiene la cardinalidad del continuo y escribimos |A| = c. Matemáticas discretas Conjuntos Infinitos Editorial: Alfaomega Grupo Editorial 7 Sean A y B dos conjuntos.

Se dice que la cardinalidad de A es menor que la cardinalidad de B, si A no tiene la misma cardinalidad que B, pero existe una función in yectiva de A en B. Observa que ℵ0 < |℘ (A)|.

También se puede demostrar que |℘(A)| = c, por lo cabría preguntar: ¿existe un conjunto infinito cuya cardi nalidad sea mayor que ℵ0 y menor que c

Cantor conjeturó que no podía existir tal conjunto, sin embargo, no pudo probarlo. Esta conjetura fue llamada la hipótesis del continuo.

Este problema fue el primero de los famosos 23 problemas no resueltos presentados por David Hilbert en 1900, en ocasión del Congreso Internacional de Matemáticas en París.

No fue sino hasta 1963 cuando fue finalmente resuelto, aunque en un sentido muy distinto al que Hilbert jamás se hubiera imaginado.

En 1938, Kurt Gödel demostró que se podía tomar libremente la hipótesis del continuo como un axioma adicional de la teoría de conjuntos de Zermel-Fraenkel. Esto fue la mitad de la solución de la conjetura de Cantor; no fue una demostración de la conjetura, sino una demostración de que no podía exhibirse un contraejemplo.

En 1963, Paul Cohen demostró que también se podía tomar como un axioma la negación de la hipótesis del continuo. Al descubrimiento de Gödel de que no existía un contraejemplo a la hipótesis del continuo, se añadía el resultado de Cohen de que tampoco podía demostrarse

En teoría de conjuntos , teorema que afirma que la cardinalidad (tamaño numérico) de un conjunto es estrictamente menor que la cardinalidad de su conjunto potencia, o conjunto de subconjuntos.

En símbolos, un conjunto finito S con n elementos contiene 2 n subconjuntos, de modo que la cardinalidad del conjunto S es n y su conjunto potencia P ( S ) es 2 n .

Si bien esto es evidente para los conjuntos finitos, nadie había considerado seriamente el caso de los conjuntos infinitos antes del matemático alemán.Georg Cantor , universalmente reconocido como el fundador de la teoría de conjuntos moderna, comenzó a trabajar en esta área hacia finales del siglo XIX

NO SE DEBE SER DÉBIL SI SE QUIERE SER LIBRE

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