Timur Karaçay hocanın anısına…

İnsanlığın “sonsuz”luğu anlama mücadelesinin matematiğe olan izdüşümü; özellikle Georg Cantor ve Richard Dedekind’in çabalarıyla, 1875-1925 yılları arasında ivme kazanmış ve günümüzde “matematiksel sozsuzluk” olarak bilinen bu kavramın “zihinsel” (ne demek olduğu apayrı bir tartışma konusudur) olabileceği, yani doğada olamayacağı sezinlenmiştir. Bu sezgiyi zihinde somutlaştırmak için de 1870’li yıllar öncesi sayıların zihinsel olup ya da olmadığı tartışma konusu olmazken, 1870’li yıllar sonrası sayıların da zihinsel olması gerektiği ve dolayısıyla da belirli aksiyomlar zemininde tanımlanması kabul edilebilir bir yaklaşım olmuştur. Günümüzden geriye doğru bakıldığında, aslında, bu sozsuzluğun kodlarının 2500 yıl öncesinin Pisagor okulunun birim karesinin köşegen “uzunluğu”nda gizlendiği anlaşılıyor. Bu yazının temel konusu bu köşegenin uzunluğunun ne olduğudur.

Bir elmanın çokluğunu bir ile, bir armut ve bir incirden oluşan meyve topluluğunun çokluğunu iki ile, Ahmet, Mehmet, bir köpek ve bir sandalyeden oluşan topluluk dört ile ölçülebilir. Bir ağacın üzerindeki yapraklar topluluğu da bir sayı ile ölçülebilir. Böylece, “her şeyin doğal sayılar olarak bilinen ve 1,2,3,…,725,… ile gösterilen sayıların biriyle ölçülebilebilir mi?” sorusunun yanıtı evet gibi dursa da, yanıt hayırdır. Örneğin, bir ile ölçülebilen bir elmanın yarısı, o elmaya göre bir ile ölçülemez, ama o elmanın yarısını ½ ile ölçmek yerinde olacaktır. Bu bakış açısıyla, bütünün belirli parçalara bölünüp ve sonrasında o parçaların bir kısmının yanyana getirilmesiyle doğal sayılardan daha fazla olan ve rasyonel sayılar olarak bilinen, 1,2, ½,, 3, 1/3,2/3,4,1/4,3/4,…,725, 3200/827,… sayılar topluluğu elde edilebilir. Bu duruma bir elmanın yarısı (bütün üzerinden) ½ ile ölçülebilirken bu yarım elmanın yarısının yarısı da ¼ ile ölçülebilir.

Yukarıdaki soru “her şey rasyonel sayılarla ölçülebilir mi?” sorusuna anlamlı bir biçimde evrilebilir. Bu sorunun yanıtının evet olduğu, kurucusu MÖ 570-MÖ 495 yılları arası yaşadığı düşünülen ve........

© Birgün